Nequam se dedere
Livio S. Orsini
Manuale propedeutico sulle
tecniche di regolazione
(Le tecniche di
regolazione dei processi spiegate tramite esempi)
Questo manuale è a disposizione degli utenti
di PLC Forum
Semper
pugnare
Premessa
Questo manuale vuole essere un aiuto per chi vuole iniziarsi
alle tecniche di regolazione ad anello chiuso. Gli argomenti sono trattati in
modo pratico e con nozioni analitiche ridotte al minimo indispensabile. Nel
secondo capitolo è analizzato il regoltaore PID sia
in modo pratico, sia in modo analitico; è stato dato ampio spazio ai regolatori
PID perché sono i più diffusi nel campo industriale. Proprio per questo il
terzo capitolo è stato dedicato all'analisi, in modo essenzialmente pratico, di alcune varianti dei regolatori PID, nella loro versione
numerica e discretizzata nel tempo.
Nei capitoli che
seguono sono descritte applicazioni che esemplificano come stabilire la migliore
strategia per affrontare le varie tipologie applicative. In questo modo il
lettore avrà le cognizioni di base necessarie ad effetture
le scelte, sia che intenda progettare e realizzare il
controllo, sia che voglia acquistare un dispositivo presente sul mercato.
Dal terzo capitolo in poi tutti gli argomenti sono trattati
in modo essenzialmente pratico. Per chi volesse
approfondire gli argomenti si rimanda alla bibliografia essenziale allegata.
sesto capitolo è dedicato alla trattazione
di applicazioni specifiche molto diffuse nel campo industriale.
Indice:
Introduzione
1. Regolazione ad anello chiuso
(principi generali)
2. Regolatore Proporzionale,
Integrale, Derivativo (principi generali)
3. Regolatore P.I.D.
discretizzato (tecnica digitale)
4. Feedforward
5. Altri regolatori
6. Applicazioni ed esempi
Introduzione
Da sempre, nell'evolversi della tecnologia, l'uomo ha
ricercato forme più complesse e ricercate di regolatori automatici, in modo
tale da ottenere prestazioni sempre più elevate.
Il primo controllo automatico moderno può essere considerato
il regolatore centrifugo di Watt.
Nel momento in cui si scoprì casualmente che il generatore elettrico basato sull'anello di Pacinotti, la dinamo, era reversibile perché funzionava
anche come motore, si aprì una nuova era nel campo dei regolatori.
Successivamente, in epoca più
vicina a noi, iniziarono le regolazioni basate sugli amplificatori magnetici,
circuiti elettronici con controllo analogico e, da ultimo per ora, con
tecnologia numerica.
Ancora quaranta anni fa, nei sistemi industriali, le
regolazioni di velocità usavano abbondantemente i sistemi Ward
– Leonard. Chi scrive ha effettuato
una sostituzione di un regolatore Ward – Leonard, con un più moderno regolatore elettronico, non più
di dieci anni fa!
Nelle pagine seguenti saranno prese in considerazione, prevalentemente, le tecniche di regolazione
che fanno uso della tecnologia numerica e le applicazioni concernenti
le regolazioni di velocità posizione e temperatura.
1 Regolazione ad anello
chiuso
In concreto tutte, o quasi, le regolazioni si effettuano ad anello chiuso. In un regolatore ad anello chiuso la
variabile da controllare (velocità, temperatura, ecc.) è misurata e confrontata
con il valore di consegna, la differenza, od errore, è successivamente
elaborata secondo un algoritmo prefissato; il risultato di quest'elaborazione
costituisce il valore d'ingresso dell'attuatore.
La figura 1.1 esemplifica questo tipo di regolazione.
Fig. 1.1 Schema di principio di regolazione ad anello chiuso
I sistemi di controllo e regolazione dei motori in corrente continua, quelli che solitamente ed erroneamente sono
denominati azionamenti (erroneamente perché l'azionamento è costituito dal
motore, dal trasduttore e dal convertitore) hanno un'architettura simile.
Il valore di consegna della velocità è costituito dal
potenziometro di riferimento o da altro segnale analogico, la velocità è
misurata tramite una dinamo tachimetrica, all'interno
del convertitore si effettua il confronto tra i due
valori, l'errore è processato con un algoritmo di tipo Proporzionale,
Integrativo e, a volte, derivativo. Quest'algoritmo è composto di tre parti: proporzionale, così detta perché
il suo effetto è proporzionale all'errore; Integrativa, perché produce in
uscita una correzione che rappresenta l'integrale dell'errore nel tempo;
Derivativa perché genera una correzione che è funzione della derivata prima
dell'errore.
Nel prossimo capitolo sarà esaminata questa tipologia di
regolazione.
Non tutti i sistemi di controllo ad anello chiuso fanno uso
di un algoritmo di tipi P.I.D.; con la comparsa sul
mercato di DSP, micro processori e microcontrollori controllori ad alte prestazioni e relativamente basso costo, si sono diffusi i
regolatori basati sul modello matematico del processo o della variabile da
controllare. Questa tipologia di regolazione permette di ottenere, in alcuni
casi, regolatori maggiormente performanti, con
metodologie di taratura automatiche (auto tuning). Le
prestazioni migliori sono pagate con l'obbligo di adottare componentistica
più costosa, rispetto ad un regolatore tradizionale, e
con tempi di sviluppo e progettazione più lunghi.
Per alcuni processi, come il controllo di temperatura od il
riconoscimento automatico di forme, sono impiegati con ottimi risultati
regolatori basati sulla logica fuzzy.
Questo tipo d'algebra è stato teorizzato alla fine degli
anni cinquanta da Ziadeh. Per molti anni è rimasta
confinata nell'ambito della ricerca universitaria; alla fine degli anni
ottanta, con l'esplosione delle prestazioni a basso costo dei processori,
finalmente è stato possibile passare alla fase pratica.
Alcune case, come Neuralogic,
hanno sviluppato processori ad hoc per logica fuzzy, altri come Siemens e Motorola, hanno sviluppato compilatori software per applicare
le regole fuzzy a processori tradizionali.
In questo manuale non saranno trattati sistemi impieganti
regolatori con tecnologia fuzzy, ma in appendice sarà
riportata una bibliografia di base per questa tecnologia.
2 Regolatore Proporzionale,
Integrativo, Derivativo (P.I.D.)
Il regolatore detto PID rappresenta, quasi certamente, il
modo più usato per effettuare le regolazioni ad anello
chiuso. In questo capitolo si descrivono i principi generali di un regolatore
PID di tipo convenzionale, con tecnica analogica; si descrive anche una
metodologia pratica di taratura.
2.1 Il regolatore PID: generalità
Questa tipologia di regolatore è senza dubbio la più usata e
conosciuta.
Molto spesso dei tre elementi che costituiscono il
regolatore s'impiegano solo le parti Proporzionale e
Integrale.
Per chiarire meglio i fondamenti di questa tecnica di
regolazione usiamo un semplice esempio.
Supponiamo di dover regolare la velocità di un piccolo
motore elettrico.
Fig. 2.1.1. Regolatore PID: schema di principio
La figura 2.1.1.
schematizza una semplice configurazione di principio
per la regolazione della velocità di un motore con
configurazione Proporzionale, Integrale, Derivativa.
Per comodità supponiamo che il motore sia in c.c. a magneti
permanenti. La costante d'armatura corrisponda a 41,16 giri/min.
per volt, così da avere 1000 r.p.m.
@ 24v.
La costante di tachimetrica
corrisponde a 10 mV per 1
giro/min., così da avere 10v @ 1000 r.p.m..
Il guadagno della parte proporzionale del sistema è
stabilito dal rapporto R / Rs; per
comodità poniamo Rs = 1.
2.2 Regolazione Proporzionale
Apriamo gli interruttori, in modo da
escludere l'azione integrale e derivativa, impostiamo R = 10, poniamo In
= 10v. Ora misuriamo il valore di Tch: il nostro
voltmetro indicherà un valore vicino a 8.05v. Solo lo 80% del valore di
consegna! Perché? Semplice con un guadagno di 10 sono
necessari 1.95v all'ingresso del nostro amplificatore per ottenerne 19.5 in
uscita che, con la costante d'armatura del nostro motore, corrispondono a circa
805 r.p.m. (gli scettici possono provare a costruirsi
una tabella calcolando la variazione d'uscita e gli errori corrispondenti).
Errori più grandi darebbero luogo a velocità maggiori, valori d'errore minori
produrrebbero una velocità inferiore; in ogni caso questi valori non
permetterebbero l'equilibrio del sistema.
Un simile errore di velocità non
è ammissibile. La prima idea che ci suggerisce il fenomeno è aumentare il
guadagno fino a raggiungere un errore trascurabile. Purtroppo, nella quasi
totalità dei casi, non è possibile perché il sistema diventa instabile (basta
richiamare alla memoria i criteri di stabilità secondo Bode
o Nyquist).
Il sistema pratico per tarare la parte
proporzionale di un regolatore PID prevede proprio l'esclusione delle parti
Integrale e Derivativa; indi si eccita il sistema con un gradino di riferimento
in ingresso, la cui ampiezza è pari a circa il 10% del valore massimo; si
osserva, per mezzo di un oscilloscopio, il comportamento in uscita; si accresce
il guadagno fino ad osservare fenomeni d'instabilità; si riduce il guadagno di
circa il 10%. Nel caso in esame, per esempio, si potrebbe notare un
inizio d'instabilità (sovra elongazione od overshoot
accentuato) con guadagno pari a 20; ridurremo quindi, per ragioni di sicurezza
di funzionamento, a circa 18.
La figura 2.1.2 esemplifica la risposta in funzione del
guadagno. La linea nera rappresenta il segnale d'ingresso; le linee colorate
rappresentano il comportamento dell'uscita in funzione del guadagno.
Provare a verificare l'errore risultante
con guadagno pari a 18.
Fig. 2.1.2. Risposta in funzione del guadagno
2.3 Regolazione Integrale
Per riportare l'errore a valori prossimi allo zero
s'introduce la componente Integrativa o Integrale.
Analiticamente l'azione integrale corrisponde
all'espressione 
.
Variando i valori del condensatore e/o della resistenza si
varia il tempo d'integrazione.
Definiamo il tempo d'integrazione. Il tempo d'integrazione
corrisponde al tempo impiegato dall'azione integrale, con errore costante, ad eguagliare la correzione proporzionale. Ammettiamo,
per esempio, che nel nostro sistema si sia raggiunto il punto d'equilibrio con Gp = 10 ed errore e = 8, quindi l'uscita del
regolatore è pari a 80. Ora inseriamo l'azione integrale, senza sommare il suo effetto all'azione
proporzionale, in questo modo l'errore non varia. Misuriamo il
valore dell'integrale, il tempo che intercorre tra l'apertura dell'interruttore
ed il raggiungimento del valore di 80, è il tempo d'integrazione.
La prima osservazione che possiamo fare è che modificando il
guadagno proporzionale, automaticamente si cambia il tempo d'integrazione. Il
legame è biunivoco. Se raddoppio il guadagno raddoppia
anche il tempo d'integrazione. Per alcuni questo fatto è di capitale
importanza, tanto da costruire regolatori, in cui ad ogni variazione di
guadagno proporzionale corrisponde un'analoga, ed inversa, variazione del tempo
d'integrazione. Per altri, tra cui lo scrivente, questa corrispondenza non ha nessun'importanza; si considera un'inutile complicazione
legare tra loro le due costanti (provare a tarare un PI così costruito e vi
accorgerete di quanto sia faticoso).
La procedura pratica per tarare il nostro regolatore prevede
che, dopo aver tarato la parte proporzionale, si aggiusti il tempo
d'integrazione con una procedura analoga.
Si parte con un tempo d'integrazione
elevato (condensatore grande), si eccita il sistema con un gradino
d'ingresso d'ampiezza pari a circa il 10% del valore massimo, si osserva il
comportamento del sistema, si riduce progressivamente il tempo d'integrazione
fino all'insorgere dei primi fenomeni d'instabilità, per sicurezza si aumenta
il tempo d'integrazione di circa il 10%.
A questo punto possiamo considerare ottimizzato il nostro
regolatore PI.
L'effetto che la componente
integrale ha avuto sul sistema di regolazione, è stato l'annullamento
dell'errore. Quest'effetto non è gratuito, è
pagato con un rallentamento dei tempi di risposta dell'intero sistema. In altri
termini mentre l'azione proporzionale è quasi istantanea, l'azione integrale
agisce con un ritardo proporzionale al tempo d'integrazione.
A regime, nel regolatore usato come esempio, la componente integrale avrà raggiunto un valore pari al valore
di consegna, la componente proporzionale sarà azzerata come l'errore. Questo in
teoria, in pratica l'elemento proporzionale, di un sistema ben ottimizzato,
assume un valore piccolo, diverso da zero, con continue variazioni di livello,
perché compensa parzialmente gli errori istantanei.
Analiticamente si può notare che una regolazione di tipo PI
introduce un polo nell'origine che annulla l'errore statico. Introduce anche
uno zero Z0 = - (1/T), che ha proprietà stabilizzatrici.
2.4 Azione derivativa
Per ottenere una risposta più rapida si può introdurre una
compensazione basata sulla componente derivativa
dell'errore.
Analiticamente l'azione derivativa si può descrivere con
.
L'azione pratica del derivatore è introdurre un fattore di
correzione basato sulla tendenza dell'errore. In pratica se l'errore tende a
diminuire la correzione sarà diminuita, mentre se
l'errore tende ad aumentare la correzione sarà aumentata. Quest'azione
rende il comportamento del regolatore più pronto, cioè
tende ad andare a regime più velocemente, ma lo rende anche meno stabile. L'introduzione ed il dosaggio dell'elemento derivativo è sempre
un'operazione delicata; l'ottimizzazione del regolatore richiede sempre una
buona sensibilità per trovare il giusto compromesso tra velocità di risposta e
nervosismo; è intuitivo che un'azione derivativa comporta anche
un'amplificazione di tutte le variazioni della variabile da controllare.
La regola pratica, per l'ottimizzazione di un regolatore P.I.D., prevede l'esclusione della
parte derivativa, fino al raggiungimento del miglior risultato per le parti
proporzionale e integrativa. Si procederà poi ad inserire ed aumentare
gradualmente l'influenza della parte derivativa osservandone l'effetto sulla
risposta al gradino. La prudenza vuole, che il fattore di smorzamento ƒÌ dell'intero sistema, non scenda
al disotto del fatidico ƒÌ = 0.707 = 
; valore che rappresenta il limite tra la rapidità di risposta
e la stabilità.
2.5 Considerazioni finali
Terminiamo questa breve panoramica sui regolatori P.I.D. con l'introduzione di uno schema a blocchi
generalizzato e della relativa funzione di trasferimento.
Fig. 2.5.1 Schema a blocchi di regolatore P.I.D.
La figura 2.5.1 schematizza i blocchi che compongono una
generica funzione P.I.D., la
cui funzione di trasferimento, nel dominio di s, sarà:
[2.5.1]
dove:
[2.5.2]
[2.5.3]
[2.5.4]
Tr è il
tempo di ritardo e Ta è il
tempo di anticipo. [1]
Nel prossimo capitolo si prenderanno
in esame una serie di regolatori P.I.D. impieganti
tecnologia numerica.